Question

已知函数f（x）=lnx-ax²-bx（a，b∈R），g（x）=-lnx
（I）当a=-1时，f（x）与g（x）在定义域上的单调性相反，求b的取值范围；
（II）设x₁，x₂是函数y=f（x）的两个零点，且x₁＜x₂求证＜a（x₁+x₂）+b．

Answer

（I）由题意把a=-1代入f（x），然后分别对f（x），g（x）求导，得出f（x）为定义域上的单调递增，得出f′（x）≥0，利用变量分离法求出b的范围；
（II）由题意x1，x2是函数y=f（x）的两个零点，可得f（x1）=f（x2）-0，得出x1，x2与a，b的式子，然后进行化简，再利用g（x）=-lnx在（0，+∞）上单调递减，和，进行证明．
【解析】
（I）∵a=-1，∴f（x）=lnx+x2-bx
由题意可知，f（x）与g（x）的定义域均为（0，+∞）
∵g′（x）===-，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递减
又a=-1时，f（x）与g（x）在定义域上的单调性相反
∴f（x）=lnx-ax2-bx在（0，+∞）上单调递增
∴f′（x）=+2x-b≥0，对x∈（0，+∞）恒成立，
即b≤+2x对x∈（0，+∞）恒成立，
∴只需b≤（）max，
∵x＞0∴≥2（当且仅当x=时，等号成立）
∴b≤2，∴b的取值范围（-∞，2）；
（II）由已知可得
∴∴
即∴a（x1+x2）+b=
从而
=
=，
∵g（x）=-lnx在（0，+∞）上单调递减，且
∴当0＜t＜1时，g（t）＞g（1）=0
∴，
又，
∴即
即证．