Question

如图，椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，F₁，F₂分别是椭圆C的左、右焦点，M是椭圆短轴的一个端点，过F₁的直线l与椭圆交于A，B两点，△MF₁F₂的面积为4，△ABF₂的周长为
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点Q的坐标为（1，0），是否存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PF₁，PF₂都相切，如存在，求出P点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由．

Answer

（I）根据三角形的面积公式及椭圆的定义列出关于椭圆的三个参数a，b，c的关系，再加上a，b，c本身的关系，通过解方程求出a，b，c，写出椭圆的方程．
（II）假设存在满足条件的点p，设出其坐标，根据两点式写出直线PF1，PF2的方程，根据圆的切线满足圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列出有关点p的坐标的方程，再利用点p的坐标满足椭圆的方程，解方程组求得点p的坐标．
【解析】
（Ⅰ） 由题意知：
又，
∵a2=b2+c2
解得 b=c=2
∴椭圆的方程为
（Ⅱ）假设存在椭圆上的一点P（x，y），使得直线PF1，PF2与以Q为圆心的圆相切，
则Q到直线PF1，PF2的距离相等，
∵F1（-2，0），F2（2，0）
∴PF2：（x-2）y-yx+2y=0； PF1：（x+2）y-yx-2y=0

化简整理得：8x2-40x+32+8y2=0
∵点在椭圆上，
∴x2+2y2=8
解得：x=2或 x=8（舍）   
x=2时，，r=1，
∴椭圆上存在点P，其坐标为或，
使得直线PF1，PF2与以Q为圆心的圆（x-1）2+y2=1相切