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已知一条抛物线和一个椭圆都经过点M(1,2),它们在x轴上具有相同的焦点F1,且...

已知一条抛物线和一个椭圆都经过点M(1,2),它们在x轴上具有相同的焦点F1,且两者的对称轴都是坐标轴,抛物线的顶点在坐标原点.
(1)求抛物线的方程和椭圆方程;
(2)假设椭圆的另一个焦点是F2,经过F2的直线l与抛物线交于P,Q两点,且满足manfen5.com 满分网,求m的取值范围.
(1)假设抛物线、椭圆的标准方程,利用抛物线和一个椭圆都经过点M(1,2),它们在x轴上具有相同的焦点F1,即可求得抛物线的方程和椭圆方程; (2)设直线的方程为y=k(x+1),联立方程得,消去y得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,根据直线l与抛物线相交于P、Q两点,确定k的范围,利用,可得,利用k的范围,即可求得m的取值范围. 【解析】 (1)由题意可设抛物线方程为y2=2px(p>0), 把M(1,2)点代入方程得:抛物线方程为y2=4x…(2分) 所以F1(1,0), 设椭圆方程为, ∵椭圆经过点M,椭圆的焦点F1(1,0), ∴ ∴, ∴椭圆方程为…(6分) (2)椭圆的焦点F1(1,0),另一个焦点为F2(-1,0), 设直线的方程为y=k(x+1),联立方程得, 消去y得k2x2+(2k2-4)x+k2=0, 因为直线l与抛物线相交于P、Q两点,所以,解得-1<k<1且k≠0…(9分) 设P(x1,y1)Q(x2,y2),则, 由得(x1+1,y1)=m(x2+1,y2),所以, ∵P、Q为不同的两点,∴, 即,∴ 解得, ∴…(12分) 即, ∵0<k2<1, ∴,即 ∴m>0且m≠1…(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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