Question

已知函数f（x）=|x+1|+|x-3|，（x∈R）
（1）证明：函数f（x）的图象关于直线x=1对称；
（2）对∀t∈R，都有f（x）＞at²+at+1，试求a的取值范围．

Answer

（1）由题意，证明函数图象关于x=1对称，即证明f（1+x）=f（1-x），由所研究的函数分别得出f（1+x）与f（1-x），验证两者相等即可；
（2）对∀t∈R，都有f（x）＞at2+at+1，问题可以转化为f（x）min＞at2+at+1，故可以先由绝对值加法规则求出f（x）min，再由f（x）min＞at2+at+1恒成立即可得到a的取值范围
【解析】
（1）：证明：因为f（x）=|x+1|+|x-3|，（x∈R）
∵f（1+x）=|x+2|+|x-2|，f（1-x）=|1-x+1|+|1-x-3|=|2-x|+|2+x|，
∴f（1+x）=f（1-x），所以函数f（x）的图象关于直线x=1对称，…（5分）
（2）∵f（x）=|x+1|+|x-3|≥|（x+1）-（x-3）|=4，
∴4≥at2+at+1，即at2+at-3≤0，
由题意可知此不等式对∀t∈R恒成立．
当a=0时，-3＜0显然成立．
当a≠0时，必有解得-12＜a＜0
∴-12＜a≤0，
所求a的取值范围是（-12，0]；（备注：漏掉a=0扣2分）…（10分）