Question

已知函数 f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（1）当a=2时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程及函数f（x）的单调区间．
（2）设f（x）在[1，2]上的最小值为g（a），求y=g（a）的解析式．

Answer

（1）求导函数，可得f′（1）=-1，f（1）=-2，从而可得切线方程；令，得；令，得，从而可得函数的单调区间；
（2）分类讨论：①当，即a≥1时，函数f（x）在区间[1，2]上是减函数；②当，即时，函数f（x）在区间[1，2]上是增函数；③当，即时，函数f（x）在上是增函数，在是减函数，比较f（2）与f（1）的大小，即可得到结论．
【解析】
（1）求导函数，可得（x＞0），则f′（1）=-1，f（1）=-2
∴切线方程：y-（-2）=-1（x-1），即y=-x-1
（x＞0），
令，得；令，得
故函数f（x）的单调递增区间为，单调减区间是．
（2）①当，即a≥1时，函数f（x）在区间[1，2]上是减函数，
∴f（x）的最小值是f（2）=ln2-2a．（10分）
②当，即时，函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，
∴f（x）的最小值是f（1）=-a．（12分）
③当，即时，函数f（x）在上是增函数，在是减函数．
又f（2）-f（1）=ln2-a，
∴当时，最小值是f（1）=-a；
当ln2≤a＜1时，最小值为f（2）=ln2-2a．
综上可知，当0＜a＜ln2时，函数f（x）的最小值是f（x）min=-a；
当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是f（x）min=ln2-2a．
即（14分）