Question

已知函数f（x）=xlnx．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．

Answer

（1）求出f′（x），确定函数的单调性，再结合[t，t+2]（t＞0）决定函数在[t，t+2]（t＞0）上的增减性，然后得到函数的最小值即可；
（2）分别求出左右两边对应函数的最值，根据最值的关系即可证得结论．
（1）【解析】
函数的定义域为（0，+∞）
求导函数，可得f'（x）=lnx+1，…（1分）
当单调递减，
当单调递增 …（2分）
①，即时，；       …（4分）
②，即时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt；                …（5分）
所以…（6分）
（2）证明：由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是，当且仅当时取到．
设，则，
∵x∈（0，1）时，m′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，m′（x）＜0，
∴，当且仅当x=1时取到…（10分）
从而对一切x∈（0，+∞），都有成立．  …（12分）