Question

已知函数f（x）=．
（I）化简函数f（x）的解析式，并求其定义域和单调区间；
（Ⅱ）若f（α）=，求sin2α的值．

Answer

（I）化简函数f（x）的解析式2sin（x+），由题意可得sin（x-）≠0，故x-≠kπ，由此求得定义域．由
2kπ-≤x+≤2kπ+，k∈z求出函数的增区间；由 2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z 求出函数的减区间．
（Ⅱ）由于 f（α）=2（cosα+sinα）=，可得cosα+sinα=，由此求得 sin2α 的值．
【解析】
（I）函数f（x）===（cosx+sinx）=2 sin（x+）．
由题意可得sin（x-）≠0，故x-≠kπ，故定义域为{x|x≠kπ+，k∈z}．
由 2kπ-≤x+≤2kπ+，k∈z，解得 2kπ-≤x≤2kπ+，k∈z，
故函数的增区间为 （ 2kπ-，2kπ+），k∈z．
由 2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，解得 2kπ-≤x≤2kπ+，k∈z，
故函数的减区间为（ 2kπ+，2kπ+ ），k∈z．
（Ⅱ）∵f（α）=2（cosα+sinα）=，∴cosα+sinα=，求得 sin2α=（cosα+sinα）2-1=-．