Question

如图，椭圆G的中心在坐标原点，其中一个焦点为圆F：x²+y²-2x=0的圆心，右顶点是圆F与x轴的一个交点．已知椭圆G与直线l：x-my-1=0相交于A、B两点．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求△AOB面积的最大值．

Answer

（I）设出椭圆方程，圆F的标准方程为（x-1）2+y2=1，圆心为F（1，0），圆与x轴的交点为（0，0）和（2，0），从而可求a=2，半焦距c=1，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）直线与椭圆方程联立．利用韦达定理，求出S△AOB，利用换元法及导数，即可求得S△AOB的最大值．
【解析】
（I）设椭圆方程为（a＞b＞0），圆F的标准方程为（x-1）2+y2=1，
圆心为F（1，0），圆与x轴的交点为（0，0）和（2，0），
由题意a=2，半焦距c=1，
∴b2=a2-c2=4-1=3，
∴椭圆方程为．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
由，消元可得（3m2+3）y2+6my-9=0
∴y1+y2=-，y1y2=-
∴|y1-y2|=
∴S△AOB=|OF||y1-y2|=
令，则t≥1，m2=t2-1
∴S△AOB=
∴S′△AOB=
∵t≥1，∴S′△AOB＜0
∴S△AOB在t∈[1，+∞）上是减函数
∴当t=1时，S△AOB取得最大值，最大值为．