Question

已知数列{a_n}：满足：a₁=3，a_n+1=，n∈N^*，记b_n=．
（I） 求证：数列{b_n}是等比数列；
（II） 若a_n≤t•4ⁿ对任意n∈N^*恒成立，求t的取值范围；
（III）证明：a₁+a₂+…a_n＞2n+．

Answer

（Ⅰ）要证数列{bn}是等比数列，需求得bn+1=，利用等比数列的定义即可证明；
（Ⅱ）由bn==可求得an=，结合条件an≤t•4n即可求得t的取值范围；
（Ⅲ）由an==2+＞2+，利用累加法即可证得结论．
证明：（Ⅰ）由an+1=得，an+1-2=-2= ①，
an+1+1=+1=②（2分）
∴得：=•，即bn+1=bn，且b1==，
∴数列{bn}是首项为，公比为的等比数列．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知bn=•==
∴an=，
由an≤t•4n得t≥=（6分）
∵是关于n的减函数，
∴≤=，
∴t≥（9分）
（Ⅲ）∵an==2+＞2+，（11分）
∴a1+a2+…+an＞（2+）+（2+）+…（2+）
=2n+（++…+）
=2n+•=2n+1-＞2n+．得证（14分）