Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动．
（1）证明：D₁E⊥A₁D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离．

Answer

（1）建立如图的坐标系，则，设E（1，t，0），则，通过向量的数量积为0，计算可得D1E⊥A1D；
（2）当E为AB的中点时，E（1，1，0），，求出平面ACD1的一个法向量，最后利用点到面的距离公式即可求点E到面ACD1的距离．
【解析】
（1）分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴，建立如图的坐标系，则，设E（1，t，0），
所以，，
∴D1E⊥A1D；
（2）当E为AB的中点时，E（1，1，0），，
设平面ACD1的法向量是，
求出，，由，得
∵=（1，1，-1）
由点到平面的距离公式，得，
∴点E到面ACD1的距离是．