Question

如图，过抛物线C：y²=4x上一点P（1，-2）作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
（1）求y₁+y₂的值；
（2）若y₁≥0，y₂≥0，求△PAB面积的最大值．

Answer

（1）确定，可得kPA=，，利用kPA=-kPB，即可求得y1+y2的值；
（2）由（1）知，可得AB的方程，计算P到AB的距离，可得S△PAB的面积，再利用换元法，构造函数，即可求得S△PAB的最大值．
【解析】
（1）因为A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线C：y2=4x上，
所以，kPA=，
同理，依题有kPA=-kPB，
所以，所以y1+y2=4．   （4分）
（2）由（1）知，
设AB的方程为，即，P到AB的距离为，，
所以
==，（8分）
令y1-2=t，由y1+y2=4，y1≥0，y2≥0，可知-2≤t≤2.，
因为为偶函数，只考虑0≤t≤2的情况，
记f（t）=|t3-16t|=16t-t3，f′（t）=16-3t2＞0，故f（t）在[0，2]是单调增函数，
故f（t）的最大值为f（2）=24，
所以S△PAB的最大值为6．（10分）