Question

已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）=2^x+ln（x+1）-1．
（1）求函数f（x）的解析式；并判断f（x）在[-1，1]上的单调性（不要求证明）；
（2）解不等式f（2x-1）+f（1-x²）≥0．

Answer

（1）求函数f（x）的解析式，先设x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]，解出f（-x），再由奇函数的定义得到f（-x）=-f（x），两者联立解出x∈[-1，0]，上的解析式．再将f（x）的解析式写成分段函数的形式．
（2）不等式f（2x-1）+f（1-x2）≥0可由奇函数的性质变为f（2x-1）≥f（x2-1），利用单调性解这个抽象不等式即可．
【解析】
（1）设-1≤x≤0，则0≤-x≤1，
所以．（3分）
又f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x），
于是f（x）=-f（-x）=．（5分）
故（6分）
判断：f（x）在[-1，1]上是增函数；（8分）
（2）因奇函数f（x）在[-1，1]上是增函数，
所以f（2x-1）+f（1-x2）≥0⇔f（2x-1）≥f（x2-1） （10分）
（14分）
解得0≤x≤1，所以不等式的解集为{x|0≤x≤1}．（16分）