Question

数列{a_n}是递减的等差数列，{a_n}的前n项和是S_n，且S₆=S₉，有以下四个结论：
①a₈=0； 
②当n等于7或8时，S_n取最大值； 
③存在正整数k，使S_k=0；
④存在正整数m，使S_m=S_2m；
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②
B．①②③
C．②③④
D．①②③④

Answer

由S6=S9，得到a7+a8+a9=0，利用等差数列的性质化简，得到a8=0，进而得到选项①正确；再由数列{an}是递减的等差数列以及a8=0，可得出当n等于7或8时，sn取最大值，选项②正确；利用等差数列的前n项和公式表示出S15，利用等差数列的性质化简后，将a8的值代入可得出S15=0，故存在正整数k，使Sk=0，选项③正确；当m=5时，表示出S10-S5，利用等差数列的性质化简后，将a8=0代入可得出S10-S5=0，即S10=S5 ，故存在正整数m，使Sm=S2m，选项④正确．
【解析】
∵S6=S9，
∴a7+a8+a9=0，
由等差数列性质得：3a8=0，可得：a8=0，选项①正确；
∵数列{an}是递减的等差数列，由已知a1＞a2＞…a7＞a8=0＞a9…，
∴当n等于7或8时，sn取最大值，选项②正确；
∵a8=0，则S15=（a1+a15）×15=15a8=0，
∴存在正整数k=15，使sk=0，选项③正确；
由等差数列性质，S10-S5=a6+a7+a8+a9+a10=5a8=0，即S10=S5 ，
∴存在正整数m=5，使sm=s2m，选项④正确，
则其中所有正确结论的序号是①②③④．
故选D