Question

已知函数f（x）=kx+m，数列{a_n}，{b_n}满足：当x∈[a₁，b₁]时，f（x）的值域是[a₂，b₂]；当x∈[a₂，b₂]时，f（x）的值域是[a₃，b₃]，…，当x∈[a_n-1，b_n-1]（n∈N，且n≥2）时，f（x）的值域是{a_n，b_n}，其中k，m为常数，a₁=0，b₁=1．
（1）若k=1，m=2，求a₂，b₂以及数列{a_n}与{b_n}的通项；
（2）若k=2，且数列{b_n}是等比数列，求m的值；
（3）（附加题：5分，记入总分，但总分不超过150分）若k＞0，设{a_n}与{b_n}的前n项和分别为S_n和T_n，求-．

Answer

（1）因为k=1，m=2，所以f（x）=x+2在R上是增函数，从而可知数列{an}与{bn}是公差为2的等差数列，故可求a2，b2以及数列{an}与{bn}的通项；
（2）因为k=2，所以f（x）=2x+m在R上是增函数，所以bn+1=2bn+m，n∈N+，根据{bn}是等比数列，所以bn≠0
于是（是常数），从而m=0或{bn}是常数列，故可求m的值；
（3）因为k＞0，所以f（x）=kx+m在R上是增函数，可得{bn-an}是以b1-a1为首项，k为公比的等比数列
所以，故Tn-Sn=（b1-a1）+（b2-a2）+…+（bn-an）=
，从而可求（T1+T2+••+Tn）-（S1+S2+••+Sn）的值．
【解析】
（1）因为k=1，m=2，所以f（x）=x+2在R上是增函数，
所以a2=a1+2=2，b2=b1+2=3，
an=an-1+2，bn=bn-1+2（n∈N+，且n≥2）
所以数列{an}与{bn}是公差为2的等差数列．
又a1=0，b1=1，所以an=2（n-1），bn=2n-1．
（2）因为k=2，所以f（x）=2x+m在R上是增函数，
所以bn+1=2bn+m，n∈N+，
又因为{bn}是等比数列，所以bn≠0
于是（是常数）
所以m=0或{bn}是常数列，
又b1=1，所以若{bn}是常数列，则必有b2=2b1+m=2+m=1，即m=-1
综上，m=0或m=-1．
（附加题）（3）因为k＞0，所以f（x）=kx+m在R上是增函数，
所以an=kan-1+m，bn=kbn-1+m（n∈N+，且n≥2）
两式相减得bn-an=k（bn-1-an-1）
即{bn-an}是以b1-a1为首项，k为公比的等比数列
所以
∴Tn-Sn=（b1-a1）+（b2-a2）+…+（bn-an）=
∴（T1+T2+••+Tn）-（S1+S2+••+Sn）=（T1-S1）+（T2-S2）+…+（Tn-Sn）
=．