Question

某企业生产一种产品时，固定成本为5 000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R（x）=（万元）（0≤x≤5），其中x是产品售出的数量（单位：百台）
（1）把利润表示为年产量的函数；
（2）年产量多少时，企业所得的利润最大．

Answer

（1）利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入R（x）与其总成本C（x）之差，而总成本C（x）=固定成本（5000）+生产消耗成本（每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元）；
（2）分段求和函数的最大值，比较可得企业所得的利润最大
【解析】
（1）利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入R（x）与其总成本C（x）之差，
由题意，当x≤5时，产品能全部售出，利润y=
当x＞5时，只能销售500台，利润y=
∴y=
=…（6分）
（2）在0≤x≤5时，y=-x2+4.75x-0.5，…（8分）
当x=-=4.75时，ymax=10.781 25；    …（10分）
当x＞5 百台时，y＜12-0.25×5=10.75，…（11分）
∴当生产4.75百台即475台时，利润最大．  …（12分）