Question

已知y=f（x）的定义域为R，且恒有等式2f（x）+f（-x）+2^x=0对任意的实数x成立．
（Ⅰ）试求f（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论f（x）在R上的单调性，并用单调性定义予以证明．

Answer

（Ⅰ）直接由2f（x）+f（-x）+2x=0得到2f（-x）+f（x）+2-x=0；两个方程联立即可求出求f（x）的解析式；
（Ⅱ）直接根据单调性的证明过程（取值，作差，变形，定号）证明即可．（注意整理过程不能出错）
【解析】
（Ⅰ）∵2f（x）+f（-x）+2x=0       ①对任意的实数x成立；
∴2f（-x）+f（x）+2-x=0     ②；
①×2-②得：3f（x）+2×2x-2-x=0⇒f（x）=（2-x-2×2x）；
（Ⅱ）函数在实数集上递减．
证明：任取a＜b，
则f（a）-f（b）=（2-a-2×2a）-（2-b-2×2b）
=[（2-a-2-b）-2×（2a-2b）]
=[（-）-2×（2a-2b）]
=（2b-2a）（+2）；
∵a＜b；
∴2b-2a＞0，2a+b＞0；
∴（2b-2a）（+2）＞0；
∴f（a）-f（b）＞0⇒f（a）＞f（b）．
∴函数f（x）在R上递减．