(I)根据数量积的坐标运算公式,将•展开,并用三角函数的降幂公式、和与差的余弦公式化简得:•=sinAsinB-cosAcosB,再由⊥,得到sinAsinB-cosAcosB=0,最后可用同角三角函数的商数关系,得到tanAtanB=;
(II)根据三角形的内角和等于π,结合三角和的正切公式,可得tanC=-tan(A+B)=-(tanA+tanB),再经过讨论可得tanA、tanB都是正数,所以tanA+tanB≥2=,从而得到当且仅当tanA=tanB=时,tanC的最大值为-.
【解析】
(I)根据数量积的坐标运算公式,得
•=sin2+(cos2-)=[1-cos(A+B)]+[1+cos(A-B)]-
=cos(A-B)-cos(A+B)=(cosAcosB+sinAsinB)-(cosAcosB-sinAsinB)
=sinAsinB-cosAcosB
∵⊥,
∴•=0,即sinAsinB-cosAcosB=0,可得sinAsinB=cosAcosB
∴tanAtanB==
(II)∵A、B是△ABC的内角,
∴π-C=A+B,可得tanC=-tan(A+B)==-(tanA+tanB)
∵A、B是三角形的内角,且tanAtanB=>0
∴A、B都是锐角,tanA、tanB都是正数
因此tanA+tanB≥2=
∴-(tanA+tanB)≤-×=-,即tanC≤-,
当且仅当tanA=tanB=时,tanC的最大值为-.