Question

（示范高中）设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2．
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，证明数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求{a_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）先根据递推关系求出a2的值从而求出b1的值，然后根据Sn+1=4an+2，则当n≥2时，有Sn=4an-1+2，将两式作差变形可证得an+1-2an=2（an-2an-1）即bn=2bn-1，证得结论；
（2）根据（1）先求出数列{bn}的通项公式，然后等式两边同时除以2n+1，可得数列是首项为，公差为的等差数列，求出数列的通项，即可求出数列{an}的通项公式；
（3）由（1）知，当n≥2时，Sn=4an-1+2，将an-1代入即可．
（1）证明：由a1=1，及Sn+1=4an+2，有a1+a2=4a1+2故a2=3a1+2=5
所以 b1=a2-2a1=3．
因为Sn+1=4an+2①
故当n≥2时，有Sn=4an-1+2②
①-②，得an+1=4an-4an-1
所以an+1-2an=2（an-2an-1）
又因为bn=an+1-2an所以bn=2bn-1
所以{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．…（4分）
（2）【解析】
由（1）可得：bn=an+1-2an=3•2n-1，
所以
因此数列是首项为，公差为的等差数列．
所以
故an=（3n-1）•2n-2…（8分）
（3）【解析】
由（1）知，当n≥2时，Sn=4an-1+2
故Sn=4an-1+2=4•（3n-4）•2n-3+2=（3n-4）•2n-1+2，n≥2
又S1=a1=1
故Sn=（3n-4）•2n-1+2，n∈N*…（12分）