(Ⅰ)由,,知=0,||=2,||=1,由此能求出k=f(t).
(Ⅱ)由f(t)=,知f′(x)=k′==,由此能求出k=f(t)的单调区间.
(Ⅲ)设切点为(t,),,则切线方程为:y-,由切线方程过(a,b),知b-=,由此能够证明
.
【解析】
(Ⅰ)∵知,,
∴=0,||==2,||==1,
=()+(,)=(,),=(-)+()=(,),
∴=-4k+t(t2-3)=0,
∴k=f(t)=.
(Ⅱ)∵f(t)=,
∴f′(x)=k′==,
令k′>0,得t>1,或t<-1,
令k′<0,得-1<t<1,
∴k=f(t)的单调增区间为(1,+∞),(-∞,-1);单调减区间为(-1,1).
(Ⅲ)设切点为(t,),,
∴切线方程为:y-,
∵切线方程过(a,b),
∴b-=,
4b-t3+3t=(3t2-3)(a-t),
4b-t3+3t=3at2-3t2-3a+3t,
∴3a+4b=-2t3+3at2有三个不同的根,
令g(t)=-2t3+3at2,
g′(t)=-6t2+6at=-6t(t-a),
令g′(t)=0,得t=0,或t=a.
令g′(t)>0,得0<t<a,
令g′(x)<0,得t>a,或t<0,
∴g(t)极小值=g(0)=0,
g(t)极大值=g(a)=a3,
∴要使3a+4b=-2t3+3at2有三个不同的根,
则0<3a+4b<a3,
∴,
故.