由g(x)=2x3+5x2+4x,知g′(x)=6x2+10x+4,令g′(x)=6x2+10x+4=0,得x=-1或x=-,列表讨论得g(x)在闭区间[-3,3]上的值域为[-21,111].由f(x)在[-3,3]的值域为[-k-8,-k+120],若对于任意x1∈[-3,3],总存在x∈[-3,3]使得g(x)=f(x1)成立,知,由此能求出k的取值范围.
【解析】
∵g(x)=2x3+5x2+4x,
∴g′(x)=6x2+10x+4,
令g′(x)=6x2+10x+4=0,得x=-1或x=-,
列表讨论:
x -3 (-3,-1) -1 (-1,-) - (-,3) 3
f′(x) + + 0 - 0 + +
f(x) ↑ ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ ↑
∵g(-3)=2×(-27)+5×9+4×(-3)=-21,
g(-1)=2×(-1)+5×1+4×(-1)=-1,
g(-)=2×(-)+5×+4×=-,
g(3)=2×27+5×9+4×3=111.
∴g(x)在闭区间[-3,3]上的值域为[-21,111].
∵f(x)在[-3,3]的值域为[-k-8,-k+120],
若对于任意x1∈[-3,3],总存在x∈[-3,3]使得g(x)=f(x1)成立,
∴,
解得9≤k≤13.
故答案为:[9,13].