Question

设F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上的任意一点，满足|PF₁|+|PF₂|=8，△PF₁F₂的周长为12．
（1）求椭圆的方程；
（2）求的最大值和最小值；
（3）已知点A（8，0），B（2，0），是否存在过点A的直线l与椭圆交于不同的两点C，D．使得|BC|=|BD|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用|PF1|+|PF2|=8，△PF1F2的周长为12，可得2a=8，2a+2c=12，从而可求椭圆的方程；
（2）由（1）知F1（-2，0），F2（2，0），设P（x，y），则=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x2+y2-4=，根据x∈[-4，4]，可得x2∈[0，16]，从而可求的最大值和最小值；
（3）直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-8），与椭圆方程联立，消元得一元二次方程，从而可求CD的中点的坐标，利用|BC|=|BD|，可得BT⊥CD，从而可建立方程，故可解．
【解析】
（1）由题设，2a=8，2a+2c=12，∴a=4，c=2，∴b2=a2-c2=12，∴椭圆的方程为；
（2）由（1）知F1（-2，0），F2（2，0），设P（x，y），则=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x2+y2-4=
∵x∈[-4，4]，∴x2∈[0，16]，∴
当且仅当点P为短轴端点时，有最小值8；点P为长轴端点时，有最大值12．
（3）当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所以直线l的斜率存在，不妨设为k，则直线l的方程为y=k（x-8）
由方程组，消元得（4k2+3）x2-64k2x+16（16k2-3）=0
∵过点A的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，
∴△=642k4-64（4k2+3）（16k2-3）＞0
∴
设交点C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中点为T（x，y）
∴x1+x2=，，
∴T（）
∵|BC|=|BD|，∴BT⊥CD
∵
∴，方程无解
∴不存在过点A的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，使得|BC|=|BD|．