Question

如图，已知点B是椭圆（a＞b＞0）的短轴位于x轴下方的端点，过B作斜率为1的直线交椭圆于点M，点P在y轴上，且PM∥x轴，•=9，若点P的坐标为（0，t），则t的取值范围是（ ）

A．0＜t＜3
B．0＜t≤3
C．
D．

Answer

由题意可得直线MB的方程为y=x-b，联立直线与椭圆方程可求M，由PM∥x轴可求P，结合已知及向量的数量积的定义，||||cos45°=9可得||=3，从而可得t=3-b=，整理可得，由t=3-b＜b，a＞b可求t的范围
【解析】
由题意可得B（0，-b）
∴直线MB的方程为y=x-b
联立方程 可得（a2+b2）x2-2ba2x=0
∴M（，），
∵PM∥x轴
∴P（0，）
∴=（0，+b），=（，+b）
∵•=9，
由向量的数量积的定义可知，||||cos45°=9
即||=3
∵P（0，t），B（0，-b）
∴t=3-b=
∴2a2b=3a2+3b2即
∵t=3-b＜b
∴b，t
由a＞b得＞b2
∴b＜3
∴t＞0
综上所述0＜t＜
故选C