Question

已知函数f（x）=lnx．
（1）求函数g（x）=f（x+1）-x的最大值；
（2）当0＜a＜b时，求证．

Answer

（1）g（x）=ln（x+1）-x（x＞-1），求导函数，确定函数的单调性，进而可得函数的最大值；
（2），由（1）知，利用基本不等式即可证得结论．
（1）【解析】
∵f（x）=lnx，g（x）=f（x+1）-x
∴g（x）=ln（x+1）-x（x＞-1），∴
令g′（x）=0，得x=0
当-1＜x＜0时，g′（x）＞0，当x＞0时，g′（x）＜0，又g（0）=0
∴当且仅当x=0时，g（x）取得最大值0 （6分）
（2）证明：
由（1）知
又∵0＜a＜b，∴a2+b2＞2ab，∴
∴
∴（12分）