Question

定长为3的线段AB两端点A、B分别在x轴，y轴上滑动，M在线段AB上，且．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）设过且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹C于A、B两点，问：线段OF上是否存在一点D，使得以DA，DB为邻边的平行四边形为菱形？作出判断并证明．

Answer

（1）设A（x1，0），B（0，y1），M（x，y），则，由此能求出点M的轨迹C的方程．
（2）设满足条件的点D（0，m），设l的方程为：，代入椭圆方程，得，设，．由以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，知，由此能导出存在满足条件的点D．
【解析】
（1）设A（x1，0），B（0，y1），M（x，y）
则，|AB|=3==1
（2）存在满足条件的D点．设满足条件的点D（0，m），
则，设l的方程为：y=kx+，（k≠0），代入椭圆方程，
得（k2+4）x2+2kx-1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，
∴y1+y2=k（x1+x2）+2．∵以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，
∴，=，的方向向量为（1，k），=0，
∴--2mk=0即m=∵k2＞0，∴m=，∴0＜m＜，∴存在满足条件的点D．