Question

已知函数．
（1）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，且，已知a₁=4，求证：a_n≥2n+2；
（3）在（2）的条件下，试比较与的大小，并说明你的理由．

Answer

（1）根据函数单调性与导数的关系，f（x）在其定义域内为单调函数，在（0，+∞）内f′（x）恒大于0或恒小于0，转化为恒成立问题去解决．
（2）根据导数的几何意义，f'（1）=0，求出a，确定f（x），f′（x）继而得出an+1的表达式，最后用数学归纳法证明．
（3）在（2）的条件下，将各项适当放缩，能得出，再结合等比数列求和公式化简不等式左边，去与比较．
【解析】
（1）f（1）=a-b=0⇒a=b，
∴，
∴．
要使函数f（x）在定义域（0，+∞）内为单调函数，则在（0，+∞）内f′（x）恒大于0或恒小于0，
当在（0，+∞）内恒成立；
当a＞0时，要使恒成立，则，解得a＞1，
当a＜0时，要使恒成立，则，解得a＜-1，
所以a的取值范围为a＞1或a＜-1或a=0．
（2）根据题意得：f'（1）=0，即a+a-2=0，得a=1，∴，
于是，
用数学归纳法证明如下：
当n=1时，a1=4≥2×1+2，不等式成立；
假设当n=k时，不等式ak≥2k+2成立，即ak-2k≥2也成立，
当n=k+1时，ak+1=ak（ak-2k）+1≥（2k+2）×2+1=4k+5＞2（k+1）+2，
所以当n=k+1，不等式也成立，
综上得对所有n∈N*时5，都有an≥2n+2．
（3）由（2）得an=an-1（an-1-2n+2）+1≥an-1[2（n-1）+2-2n+2]+1=2an-1+1，
于是an+1≥2（an-1+1）（n≥2），
所以a2+1≥2（a1+1），a3+1≥2（a2+1）…an+1≥2（an-1+1），
累乘得：，
所以．