Question

如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F₁，F₂在x轴上，长轴A₁A₂的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA₁|：|A₁F₁|=2：1．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若点P在直线l上运动，求∠F₁PF₂的最大值、

Answer

（Ⅰ）设椭圆方程为，半焦距为c，由题意能够导出a=2，b=，c=1，故椭圆方程为．
（Ⅱ）设P（-4，y），y≠0设直线PF1的斜率k1=，直线PF2的斜率k2=，由题设知∠F1PF为锐角．由此能导出∠F1PF2的最大值为．
【解析】
（Ⅰ）设椭圆方程为，半焦距为c，
则由题意，
得，∴a=2，b=，c=1，故椭圆方程为．
（Ⅱ）设P（-4，y），y≠0设直线PF1的斜率k1=，直线PF2的斜率k2=，
∵，∴∠F1PF为锐角．
∴．
当，即时，tan∠F1PF2取到最大值，
此时∠F1PF2最大，故∠F1PF2的最大值为．