Question

已知，以点C（t，）为圆心的圆与x轴交于O、A两点，与y轴交于O、B两点．
（1）求证：S_△AOB为定值；
（2）设直线y=-2x+4（3）与圆C交于点M、N，若OM=ON，求圆C的方程．

Answer

（1）易得C（t，）为AB中点，从而可得A（2t，0），B（0，），由此可求S△AOB；
（2）kOC•kMN=-1，可得t=±2，从而可确定圆心与半径，再验证，当圆心C为（-2，-1）时，直线y=-2x+4与圆C相离，即可得到圆C的方程．
（1）证明：∵∠AOB=90°，
∴C（t，）为AB中点
∴A（2t，0），B（0，）
∴S△AOB=
（2）【解析】
∵OM=ON
∴O在线段MN的中垂线上
∴OC⊥MN
∴kOC•kMN=-1
∴
∴t=±2
∴圆心C（2，1）或（-2，-1），
经验证，当圆心C为（-2，-1）时，直线y=-2x+4与圆C相离
∴圆C的方程为（x-2）2+（y-1）2=5