Question

已知两定点，满足条件的点P的轨迹是曲线C，直线y=kx-2与曲线C交于A、B两点，且．
（1）求曲线C的方程；
（2）求直线AB的方程；
（3）若曲线C上存在一点D，使，求m的值及点D到直线AB的距离．

Answer

（1）通过已知条件，满足双曲线的定义，直接求出曲线C的方程；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用直线与双曲线联立方程组，通过弦长公式求出直线的斜率，即可求直线AB的方程；
（3）求出A，B，利用，即可求m的值，利用点到直线的距离求解点D到直线AB的距离．
【解析】
（1）由双曲线的定义可知曲线C是以为焦点的双曲线的左半支
且，故b=1，
所以轨迹C的方程是x2-y2=1．（x＜0）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
由题意得方程组消去y得（1-k2）x2+4kx-5=0
又已知直线与曲线C交于A、B两点，故有
解得
∵
=
∴
整理得，7k4-23k2-20=0
解得 （舍）
由k2=4，得k=-2，（k=2舍）
于是直线AB的方程为y=-2x-2，即2x+y+2=0．
（3）由，解得
不妨设，
由，故有．
将D点坐标代入曲线C的方程，得．
解得，
但当时，点D在双曲线右支上，不合题意，
∴
点D的坐标为，
D到线AB的距离为．