Question

已知函数为奇函数．
（1）求a和b的值；
（2）当f（x）定义域不是R时，判断函数f（x）在（0，+∞）内的单调性，并给出证明；
（3）当f（x）定义域为R时，求函数f（x）的值域．

Answer

（1）由奇函数的性质可得f（x）+f（-x）=0，结合函数的解析式构造方程组，可求出a和b的值；
（2）当f（x）定义域不是R时，可得b＜0，结合（1）中结论可得函数的解析式，进而利用做差法，任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，判断f（x1）与f（x2）大小，可得结论；
（3）当f（x）定义域是R时，可得b≥0，结合（1）中结论可得函数的解析式，进而利用分类常数法，结合指数函数的性质可得函数f（x）的值域．
（1）【解析】
由f（x）为奇函数得，f（x）+f（-x）=0，
即 +=0，化简得（a+b）（22x+2-x）+2（ab+1）=0
∴，解得：或          （4分）
（2）由已知得，f（x）=这时，f（x）在（0，+∞）内是减函数．
证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2
f（x1）-f（x2）=-=，
∵x1＞0，x2＞0，x1＜x2
∴，，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）
因此，f（x）在（0，+∞）内是减函数． （4分）
（3）【解析】
由已知得：f（x）==1-，
∵2x＞0，
∴2x+1＞1，
∴0＜＜2，
∴-2＜-＜0，
∴-1＜f（x）＜1
因此，f（x）的值域为（-1，1）（12分）