Question

已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R，都有f（x-1）=f（x+3），当x∈[4，6]时，f（x）=2^x+1，若f^-1（x）是函数f（x）在区间[-2，0]上的反函数，则f^-1（19）的值为（ ）
A．log₂15
B．3-2log₂3
C．5+log₂3
D．-1-2log₂3

Answer

由f（x-1）=f（x+3）可确定函数周期，进而由条件当x∈[4，6]时，f（x）=2x+1推导x∈[0，2]时f（x）解析式，并利用偶函数条件求出函数f（x）在区间[-2，0]上的解析式，并令x∈[-2，0]时f（x）=19，解出自变量x的值即为f-1（19）的值．
【解析】
由f（x-1）=f（x+3）得f（x）=f（x+4），
所以函数周期为T=4，
所以x∈[0，2]时，x+4∈[4，6]，所以f（x）=f（x+4）=2x+4+1，
又函数f（x）为偶函数，所以x∈[-2，0]时-x∈[0，2]，则f（x）=f（-x）=2-x+4+1，
令f（x）=2-x+4+1=19，解得
x=4-log218=3-2log23，
从而f-1（19）=3-2log23
故选择B