Question

已知函数．
（1）试在函数f（x）的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[-1，1]上；
（2）求证：（x∈R）

Answer

（1）设所求两点的横坐标为x1、x2再利用切线的斜率之积为1：（2x12-1）（2x22-1）=-1，即可求得结果；
（2）因为|f（sinx）-f（cosx）|≤|f（sinx）|+|f（cosx）|，故欲求证（x∈R），只须探求|f（sinx）|和|f（cosx）|的取值范围即可，故只要利用导数研究函数f（x）的单调性即可．
【解析】
（1）设所求两点的横坐标为x1，x2且 （x1＜x2），则：（2x12-1）（2x22-1）=-1，
又∵x1，x2∈[-1，1]．∴2x2-1∈[-1，1]，2x22-1∈[-1，1]，∴2x12-1，2x22-1中一个为1，一个为-1，
∴或∴所求的两点为或
（2）易知：sinx∈[-1，1]，cosx∈[-1，1]
对函数∴当时
f′（x）＜0，当时f′（x）＞0
∴f（x）在为减函数，在上为增函数
又ZZ
而f（x）在[-1，1]上为奇函数
∴f（x）在[-1，1]上最大值为，最小值为
∴