Question

已知函数f（x）=lnx+2x，g（x）=a（x²+x），若f（x）≤g（x）恒成立，则实数a的取值范围是    ．

Answer

f（x）≤g（x）恒成立，构造新函数F（x）=f（x）-g（x），则F（x）≤0恒成立，求导函数，是的F（x）的最大值小于0，就可以求出实数a的取值范围
【解析】
设F（x）=f（x）-g（x），则
当a≤0时，F′（x）≥0，F（x）单调递增，F（x）≤0不可能恒成立；
当a＞0时，令F′（x）=0，得，（舍去）．
当时，F′（x）＞0，函数单调递增；当时，F′（x）＜0，函数单调递减；
故F（x）在（0，+∞）上的最大值是，依题意0恒成立，
即恒成立，
∵g单调递减，且g（1）=0，
∴成立的充要条件是a≥1，
∴a的取值范围是[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．