Question

已知数列{a_n}中a₁=2，点（a_n，a_n+1） 在函数f（x）=x²+2x的图象上，n∈N^*．数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足
b₁=1，当n≥2时，S_n²=b_n（S_n-）
（1）证明数列{lg（1+a_n）}是等比数列；
（2）求S_n；
（3）设T_n=（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）c_n=，求T_n•（c₁+c₂+c₃+…+c_n）的值．

Answer

（1）由已知前件得到项之间的关系式，整理两边取对数可得要证的数列，要证一个数列为等比数列，就是要证明这个数列的每一项与它的前一项的之比是一个常数．
（2）把Sn2=bn（Sn-）式子中的bn换为Sn，得到前n项和的一个关系式，仔细观察，得出{}为等差数列，Sn可求．
（3）由（1）可求1+an由幂的运算得出Tn=（1+a1）（1+a2）…（1+an），由（2）可得cn，由裂项法求出c1+c2+c3+…+cn，Tn•（c1+c2+c3+…+cn）的值可求．
【解析】
（1）由已知：∵an+1=an2+2an∴an+1+1=（an+1）2，
∵a1=2，an+1＞1，两边取对数得lg（1+an+1）=2lg（1+an），即=2，
∴{lg（1+an）}是公比为2的等比数列．
（2）当n≥2时，Sn2=bn（Sn-）=（Sn-Sn-1）（Sn-），
展开整理得：Sn-1-Sn=2SnSn-1，
若Sn=0，则bn=0，则S2=1+b2≠0矛盾，∴Sn≠0，
在等式两侧同除以SnSn-1得=2，
∴{}为等差数列，∴=1+2（n-1）=2n-1，
∴Sn=．
（3）由（1）知∴lg（1+an）=2n-1lg3=，∴1+an=，
∴Tn=（1+a1）（1+a2）…（1+an）=…==，
∵cn==-，，
c1+c2+c3+…+cn=1-+-+-+…+-
=1-
∴Tn•（c1+c2+c3+…+cn）=（1-）．