Question

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切，A，B分别是椭圆的左右两个顶点，P为椭圆C上的动点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k₁，k₂，证明：k₁•k₂为定值．

Answer

（I）写出圆的方程，利用直线与圆相切的充要条件列出方程求出b的值，利用椭圆的离心率公式得到a，c的关系，再利用椭圆本身三个参数的关系求出a，c的值，将a，b的值代入椭圆的方程即可．
（II）设出P的坐标，将其代入椭圆的方程得到P的坐标的关系，写出A，B的坐标，利用两点连线的斜率公式求出
k1，k2，将P的坐标的关系代入k1k2化简求出其值．
（Ⅰ）【解析】
由题意，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆的方程为x2+y2=b2，
∵直线x-y+2=0与圆相切，∴，即，
又，即，
∵a2=b2+c2，
∴，c=1，
所以椭圆方程为．
（Ⅱ）证明：设P（x，y）（y≠0），，，
则，即，
∵直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，
∴，，
∴，
∴k1•k2为定值．