Question

已知函数f（x）=-x³+ax²-4．
（1） 若f（x）在处取得极值，求实数a的值；
（2） 在（Ⅰ）的条件下，若关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；
（3） 若存在x∈（0，+∞），使得不等式f（x）＞0成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）首先利用函数的导数与极值的关系求出a的值，（2）在（Ⅰ）的条件下，若关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有两个不同的实数根，即函数f（x）的图象与直线y=m有两个交点，利用导数即求函数f（x）在区间[-1，1]上的最值；（3）解法一：存在x∈（0，+∞），使f（x）＞0即寻找f（x）max＞0是变量a的范围；解法二：存在x∈（0，+∞），使得不等式f（x）＞0成立，即即-x3+ax2-4＞0在（0，+∞）上有解，分离参数，即求a＞g（x）min，转化为求函数的最小值．
（1）f'（x）=-3x2+2ax，由题意得，解得a=2，经检验满足条件．
（2）由（1）知f（x）=-x3+2x2-4，f'（x）=-3x2+4x，
令f'（x）=0，则x1=0，（舍去）．f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x -1 （-1，0） （0，1） 1
f'（x） - +
f（x） -1 ↘ -4 ↗ -3

∴f（x）在（-1，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增，
∴f（x）极小值=f（0）=-4，如图构造f（x）在[-1，1]上的图象．
又关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有两个不同的实数根，
则-4＜m≤-3，即m的取值范围是（-4，-3]．
（3）解法一：因存在x∈（0，+∞），使得不等式f（x）＞0成立，
故只需要f（x）的最大值f（x）max＞0即可，
∵f（x）=-x3+ax2-4，∴．
①若a≤0，则当x＞0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减．
∵f（0）=-4＜0，∴当x＞0时，f（x）＜-4＜0，
∴当a≤0时，不存在x∈（0，+∞），使得不等式f（x）＞0成立．
②当a＞0时f（x），f'（x）随x的变化情况如下表：

x
f'（x） + -
f（x） ↗ ↘

∴当x∈（0，+∞）时，，由得a＞3．
综上得a＞3，即a的取值范围是（3，+∞）．
解法二：根据题意，只需要不等式f（x）＞0在（0，+∞）上有解即可，
即-x3+ax2-4＞0在（0，+∞）上有解．即不等式在（0，+∞）上有解即可．
令，只需要a＞g（x）min
而，当且仅当，即x=2时“=”成立．
故a＞3，即a的取值范围是（3，+∞）．