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已知函数f(x)=x3-x2+cx+d有极值. (Ⅰ)求c的取值范围; (Ⅱ)若...

已知函数f(x)=manfen5.com 满分网x3-manfen5.com 满分网x2+cx+d有极值.
(Ⅰ)求c的取值范围;
(Ⅱ)若f(x)在x=2处取得极值,且当x<0时,f(x)<manfen5.com 满分网d2+2d恒成立,求d的取值范围.
(I)由已知中函数解析式f(x)=x3-x2+cx+d,我们易求出导函数f′(x)的解析式,然后根据函数f(x)=x3-x2+cx+d有极值,方程f′(x)=x2-x+c=0有两个实数解,构造关于c的不等式,解不等式即可得到c的取值范围; (Ⅱ)若f(x)在x=2处取得极值,则f′(2)=0,求出满足条件的c值后,可以分析出函数f(x)=x3-x2+cx+d的单调性,进而分析出当x<0时,函数的最大值,又由当x<0时,f(x)<d2+2d恒成立,可以构造出一个关于d的不等式,解不等式即可得到d的取值范围. 解(Ⅰ)∵f(x)=x3-x2+cx+d, ∴f′(x)=x2-x+c,要使f(x)有极值,则方程f′(x)=x2-x+c=0有两个实数解, 从而△=1-4c>0, ∴c<. (Ⅱ)∵f(x)在x=2处取得极值, ∴f′(2)=4-2+c=0, ∴c=-2. ∴f(x)=x3-x2-2x+d, ∵f′(x)=x2-x-2=(x-2)(x+1), ∴当x∈(-∞,-1]时,f′(x)>0,函数单调递增,当x∈(-1,2]时,f′(x)<0,函数单调递减. ∴x<0时,f(x)在x=-1处取得最大值, ∵x<0时,f(x)<恒成立, ∴<,即(d+7)(d-1)>0, ∴d<-7或d>1, 即d的取值范围是(-∞,-7)∪(1,+∞).
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考点分析:
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(Ⅰ)求出f(5);
(Ⅱ)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)的关系式,并根据你得到的关系式求f(n)的表达式.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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