Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（4）成立，则f（2008）=    ．

Answer

因为对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（4）成立，分别取x=0、4、8、…、2004，得到502个等式，累加可得f（2008）=f（0）+502f（4）．然后根据函数y=f（x）是R上的奇函数，得到f（0）=0，再对f（x+4）=f（x）+f（4）取x=-2，得f（-2）=f（2）+f（4），结合f（2）=0可求出f（4）=0，从而得出f（2008）=0．
【解析】
∵任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（4）成立，
∴f（4）=f（0）+f（4），…（1）
f（8）=f（4）+f（4），…（2）
f（12）=f（8）+f（4），…（3）
…
f（2008）=f（2004）+f（4），…（502）
将这502个式子相加，得f（2008）=f（0）+502f（4）…（*）．
∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-0）=-f（0）=f（0），可得f（0）=0
对于f（x+4）=f（x）+f（4）取x=-2，得f（-2+4）=f（-2）+f（4）
又因为f（2）=0，所以f（-2）=f（2）=0
∴f（4）=f（-2）-f（2）=0
将f（0）=0与f（4）=0代入（*），得f（2008）=0
故答案为：0