Question

如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，AC⊥BC，PB=BC=AC，点E、F分别是PC、PA的中点．
（Ⅰ）求证：PC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求二面角A-EB-F的大小．

Answer

方法一：（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理，证明BE⊥PC，EF⊥PC，即可得到PC⊥平面BEF；
（Ⅱ）先判断∠AEF为二面角A-EB-F的平面角，再在△AEF中，利用余弦定理，可求二面角A-EB-F的大小；
方法（二）：向量法，建立坐标系，用坐标表示点，用坐标表示向量
（Ⅰ）证明，从而可证PC⊥平面BEF；
（Ⅱ）先判断向量与的夹角为所求，再利用向量夹角公式，即可求得二面角A-EB-F的大小．
方法（一）
（Ⅰ）证明：由已知可得△PBC为等腰直角三角形，则BE⊥PC．    （1分）
由PB⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，则PB⊥AC．
又AC⊥BC，BC∩PB=B，
则AC⊥平面PBC，由PC⊂平面PBC，得AC⊥PC． （3分）
由中位线定理得，EF∥CA，于是EF⊥PC，又BE∩EF=E，
所以PC⊥平面BEF．           （6分）
（Ⅱ）【解析】
由第（Ⅰ）问，已证明AC⊥平面PBC，又BE⊂平面PBC，
则AC⊥BE．已证明BE⊥PC，又PC∩AC=C，则BE⊥平面PAC．
因为EF⊂平面PAC，AE⊂平面PAC，所以BE⊥EF，BE⊥AE．
由二面角的定义，得∠AEF为二面角A-EB-F的平面角．（9分）
设PB=BC=AC=2，则，，
在Rt△PAB中，PB=2，，所以，
在Rt△ACE中，AC=2，，∴，
在△AEF中，由余弦定理得，．
则二面角A-EB-F的大小为．        （12分）
方法（二）
如图建立空间直角坐标系，设PB=BC=AC=2，可求出以下各点的坐标：A（2，2，0），B（0，0，0），C（2，0，0），
P（0，0，2），E（1，0，1），F（1，1，1）
（Ⅰ），，
有，，
于是PC⊥BE，PC⊥EF，又BE∩EF=E，则PC⊥平面BEF．          （6分）
（Ⅱ），有，，
于是EA⊥BE，EF⊥BE，由二面角定义，向量与的夹角为所求．
∴，
所以二面角A-EB-F的大小为．   （12分）