Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d在（-∞，1）上单调递减，在（1，3）上单调递增在（3，+∞）上单调递减，且函数图象在（2，f（2））处的切线与直线5x+y=0垂直．
（Ⅰ）求实数a、b、c的值；
（Ⅱ）设函数f（x）=0有三个不相等的实数根，求d的取值范围．

Answer

（Ⅰ）对函数求导可得，f′（x）=3ax2+2bx+c，由题意可得，所以f′（1）=2a+2b+c=0，f′（3）=27a+6b+c=0．联立可求a，b，c
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x），由x=1和x=3分别是函数f（x）的极小值点和极大值点，且当x取负值且绝对值足够大时，y取正值，当x时正值且足够大时，y取负值，则方程f（x）=0有三个不相等的实数根的充要条件为，代入可求
【解析】
（Ⅰ）对函数求导可得，f′（x）=3ax2+2bx+c，
∵函数图象在（2，f（2））处的切线与直线5x+y=0垂直，
∴．①
由已知可知，1和3为方程f′（x）=0的两根，所以f′（1）=2a+2b+c=0，②
f′（3）=27a+6b+c=0．③
由①、②、③解得，，．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
∵x=1和x=3分别是函数f（x）的极小值点和极大值点，且当x取负值且绝对值足够大时，y取正值，当x时正值且足够大时，y取负值．（8分）
所以方程f（x）=0有三个不相等的实数根的充要条件为即
所以d的取值范围为．（12分）