Question

设数列{a_n}，{b_n}满足a₁=1，b₁=0且
（Ⅰ）求λ的值，使得数列{a_n+λb_n}为等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）令数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为S_n和S'_n，求极限的值．

Answer

（Ⅰ）令cn=an+λbn，其中λ为常数，通过{cn}为等比数列，则存在q≠0使得cn+1=an+1+λbn+1=q（an+λbn）．
推出（2+λ-q）an+（3+2λ-λq）bn=0，n=1，2，3，然后列出方程组消去q解得．然后验证当时，数列为等比数列．即可．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）直接求出数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅲ）令数列{dn}的通项公式为，它是公比为的等比数列，令其前n项和为Pn；令数列{en}的通项公式为，它是公比为的等比数列，令其前n项和为P'n．求出，由于，则，于是，通过，然后求解．
【解析】
满分（12分）．
（Ⅰ）令cn=an+λbn，其中λ为常数，若{cn}为等比数列，则存在q≠0使得cn+1=an+1+λbn+1=q（an+λbn）．
又an+1+λbn+1=2an+3bn+λ（an+2bn）=（2+λ）an+（3+2λ）bn．
所以q（an+λbn）=（2+λ）an+（3+2λ）bn．
由此得（2+λ-q）an+（3+2λ-λq）bn=0，n=1，2，3，（2分）
由a1=1，b1=0及已知递推式可求得a2=2，b2=1，把它们代入上式后得方程组消去q解得．    （4分）
下面验证当时，数列为等比数列．（n=1，2，3，…），，从而是公比为的等比数列．
同理可知是公比为的等比数列，于是为所求．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果得，，解得，．（9分）
（Ⅲ）令数列{dn}的通项公式为，它是公比为的等比数列，令其前n项和为Pn；
令数列{en}的通项公式为，它是公比为的等比数列，令其前n项和为P'n．
由第（Ⅱ）问得，．．
由于数列{en}的公比，则．，
由于，则，
于是，所以（12分）