Question

某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元（a为常数，2≤a≤5 ）的税收．设每件产品的售价为x元（35≤x≤41），根据市场调查，日销售量与e^x（e为自然对数的底数）成反比例．已知每件产品的日售价为40．
元时，日销售量为10件．
（1）求该商店的日利润L（x）元与每件产品的日售价x元的函数关系式；
（2）当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L（x）最大，并求出L（x）的最大值．

Answer

（1）日销售量与ex（e为自然对数的底数）成反比例，则有售量为，再结合利润=收入-支出问题可以得到解决．
（2）求解函数的最值，导数是十分重要的工具，利用分段函数的性质进行求解．
【解析】
（1）设日销售量为，则，
∴（2分）
则日利润；（4分）
（2）（7分）
①当2≤a≤4时，33≤a+31≤35，当35＜x＜41时，L′（x）＜0
∴当x=35时，L（x）取最大值为10（5-a）e5（10分）
②当4＜a≤5时，35≤a+31≤36，令L′（x）=0，得x=a+31，
易知当x=a+31时，L（x）取最大值为10e9-a（13分）
综合上得．（15分）