Question

当n为正整数时，定义函数N （n）表示n的最大奇因数．如N （3）=3，N （10）=5，…．记S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+…+N（2ⁿ）．则（1）S（4）=    ．（2）S（n）=．

Answer

（1）由题设知，N（2n）=N（n），N（2n-1）=2n-1．S（4）=[N（1）+N（3）+N（5）+…+N（15）]+[N（2）+N（4）+N（6）+…+N（16）]=[1+3+5+…+15]+[N（2）+N（4）+N（6）+…+N（16）]．由此能求出S（4）．
（2）由S（n）=[1+3+5+…+（2n-1）]+[N（2）+N（4）+N（6）+…+N（2n）]，知S（n）=4n-1+S（n-1）（n≥1），由此能推导出．
【解析】
（1）由题设知，N（2n）=N（n），N（2n-1）=2n-1．
S（4）=[N（1）+N（3）+N（5）+…+N（15）]+[N（2）+N（4）+N（6）+…+N（16）]
=[1+3+5+…+15]+[N（2）+N（4）+N（6）+…+N（16）]
=43+S（3）
=43+42+S（2）
=43+42+41+S（1）=86．
（2）S（n）=[1+3+5+…+（2n-1）]+[N（2）+N（4）+N（6）+…+N（2n）]，
∴S（n）=4n-1+S（n-1）（n≥1），
又S1=N（1）=1，
∴．