Question

在数列，其中c≠0．
（Ⅰ）求通项公式；
（Ⅱ）若对一切k∈N^*有，求c的取值范围．

Answer

（1）由数列，其中c≠0．求得a1=1，a2=ca1+c2•3=3c2+c，a3=ca2+c3•5=8c3+c2，由此猜测an=（n2-1）cn+cn-1，进而用数学归纳法证明．
（2）把（1）中求得的an代入，整理得（4k2-1）c2-（4k2-4k-1）c-1＞0，设（4k2-1）c2-（4k2-4k-1）c-1=0的两个根分别表示ck和c，根据ck＜=，得c≥1；再根据判断出单调递增知≥对一切k∈N*成立，求得c＜-．最后综合答案可得．
【解析】
（1）∵数列，其中c≠0．
∴a1=1，
a2=ca1+c2•3=（22-1）c2+c，
a3=ca2+c3•5=（32-1）c3+c2，
由此猜测an=（n2-1）cn+cn-1，
下用数学归纳法证明．
①当n=1时，等式成立；
②假设当n=k时，等式成立，即ak=（k2-1）ck+ck-1，…（6分）
则当n=k+1时，ak+1=cak+ck+1（2k+1）=c[（k2-1）ck+ck-1]+ck+1（2k+1）
=（k2+2k）ck+1+ck=[（k+1）2-1]ck+1+ck，…（7分）
综上，an=（n2-1）cn+cn-1对任何n∈N*都成立．…（8分）
（3）由a2k＞a2k-1，得[（2k）2-1]c2k+c2k-1＞[（2k-1）2-1]c2k-1+c2k-2，…（9分）
因c2k-2＞0，所以（4k2-1）c2-（4k2-4k-1）c-1＞0．
解此不等式得：对一切k∈N*，有c＞ck或c＜c，
其中ck=，
=．（10分）
∴，
又由＜=4k2+1，
知ck＜=，…（11分）
因此由c＞ck对一切k∈N*成立得c≥1．…（12分）
∵=＜0，
∴单调递增，故≥对一切k∈N*成立，
因此由c＜对一切k∈N*成立得c＜=-．…（13分）
从而c的取值范围为（-∞，-）∪[1，+∞）．…（14分）．