Question

设a≥0，函数的最大值为g（a）．
（1）设，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）；
（2）求g（a）；
（3）试求满足的所有实数a．

Answer

（1）由已知，且定义域-1≤x≤1，易求得t的取值范围，且，
（2）g（a）即为函数，的最大值．结合二次函数图象与性质，分类讨论的方法求解．
（3）将化为具体方程，须利用分段函数的知识，分a，的范围进行分类讨论．
【解析】
（1），
要使有t意义，必须1+x≥0，且1-x≥0，即-1≤x≤1，
∴①
∴t的取值范围是．（2分）
由①得，
∴，．（4分）
（2）由题意知g（a）即为函数，的最大值．
注意到直线是抛物线的对称轴，
分以下几种情况讨论．
1°当a＞0时，
①由，即时，．（5分）
②由，即时，
在单调递增，．（6分）
2°当a=0时，m（t）=t，，
∴．（7分）
综上有g（a）=（8分）
（3）分以下几种情形讨论：
情形①：当，且时，即时，由，
得，解得a=1．（9分）
情形②：当，且时，即时，由，
得，解得（舍） （10分）
情形③：当，且时，即a∈φ时，不成立．
情形④：当，且时，即时，由，
得，解得（舍）
综上有a=1，满足．（12分）