Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点
求证：（1）AC₁∥平面B₁CD；
（2）DB₁与平面BCC₁B₁所成角的正切值．

Answer

（1）设BC1交B1C与E，连接DE，通过证明AC1与平面B1CD内的直线DE证得，利用三角形中位线性质．
（2）取BC中点F，连DF，B1F，∠DB1F为DB1与平面BCC1B1所成角．在直角△DB1F中求解即可．
证明：（1）设BC1交B1C与E，连接DE．
∵E，D分别为BC1，AB的中点，
∴DE∥AC1，又DE⊂平面B1CD，AC1⊂平面B1CD，
∴AC1∥平面B1CD；
（2）取BC中点F，连DF，B1F
∵直三棱柱ABC-A1B1C1∴CC1⊥AC
又AC=3，BC=4，AB=5知AC⊥BC∴AC⊥面BCC1B1
又F为BC中点，D为AB中点∴DF∥AC
∴DF⊥面BCC1B1
∴DB1在平面BCC1B1内的射影为FB1
∴DB1与平面BCC1B1的所成角为∠DB1F．
在RT△FB1B中，B1B=4，BF=2，
∴B1F=2，
又DF=
∴在RT△DFB1中，tan∠DB1F===．