Question

已知圆O：x²+y²=1，点P在直线上，O为坐标原点，若圆O上存在点Q，使∠OPQ=30°，则点P的纵坐标y的取值范围是（ ）
A．[-2，2]
B．[0，2]
C．[-1，1]
D．[0，1]

Answer

圆O外有一点P，圆上有一动点Q，∠OPQ在PQ与圆相切时取得最大值．如果OP变长，那么∠OPQ可以获得的最大值将变小．可以得知，当∠OPQ=30°，且PQ与圆相切时，PO=2，而当PO＞2时，Q在圆上任意移动，∠OPQ＜30°恒成立．因此满足PO≤2，就能保证一定存在点Q，使得∠OPQ=30°，否则，这样的点Q是不存在的；接下来进行计算：根据两点间的距离公式表示出OP的长，再把P的坐标代入已知的直线方程中，用y表示出x，代入到表示出OP的长中，根据PO2≤4列出关于y的不等式，求出不等式的解集即可得到y的范围．
【解析】
由分析可得：PO2=x2+y2，
又因为点P在直线上，所以x=，
由分析可知PO≤2，所以PO2≤4，即3+y2≤4，变形得：y2≤1，解得：-1≤y≤1，
即y的取值范围是[-1，1]．
故选C．