Question

已知函数．
（Ⅰ）求证：存在定点M，使得函数f（x）图象上任意一点P关于M点对称的点Q也在函数f（x）的图象上，并求出点M的坐标；
（Ⅱ）定义，其中n∈N^*且n≥2，求S₂₀₁₂；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的S_n，求证：对于任意n∈N^*都有．

Answer

（Ⅰ）存在定点M，使得函数f（x）图象上任意一点P关于M点对称的点Q也在函数f（x）的图象上，则函数f（x）上的点P和点Q关于点M对称，可根据f（x）+f（2a-x）=2b可以求出a和b的值，进而可以证明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）根据对称性，可得f（x）+f（1-x）=1，从而可求出Sn的表达式，进而将n=2012代入，即可求出S2012的值；
（Ⅲ）根据（Ⅱ）中求得的Sn的表达式先求出，从而可证明结论．
【解析】
（Ⅰ）函数定义域为（0，1）．
设点M的坐标为（a，b），则若点M，使得函数f（x）图象上任意一点P关于M点对称的点Q也在函数f（x）的图象上
必有f（x）+f（2a-x）==1+=2b，对于x∈（0，1）恒成立，
∴1-2a=0，1=2b．，
∴a=b=．
所以存在定点M（，），使得函数f（x）的图象上任意一点P关于M点对称的点Q也在函数f（x）的图象上．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）+f（1-x）=1，
∵…①
∴…②
①+②，得2Sn=n-1，
∴，
故S2012=1005.5．
（Ⅲ）当n∈N*时，由（Ⅱ）知
于是等价于．…（10分）
令g（x）=x3-x2+ln（1+x），则，
∴当x∈[0，+∞）时，g'（x）＞0，即函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，又g（0）=0．
于是，当x∈（0，+∞）时，恒有g（x）＞g（0）=0，即x3-x2+ln（1+x）＞0恒成立．…（12分）
故当x∈（0，+∞）时，有ln（1+x）＞x2-x3成立，
取，则有成立．…（14分）