Question

一条双曲线的左、右顶点分别为A₁，A₂，点M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁）是双曲线上不同的两个动点．
（1）求直线A₁M与A₂N交点的轨迹E的方程式；
（2）设直线l与曲线E相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为（-2，0），若点Q（0，y）在线段AB的垂直平分线上，且．求y的值．

Answer

（1）由，，两式相乘得-，而点M（x1，y1）在双曲线上，所以，由此能求出轨迹E的方程．
（2）由（1）可知A（-2，0）．设B点的坐标为（x1，y1），直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+2），于是A，B两点的坐标满足方程组，整理，得（1+4k2）x2+16k2x+（16k2-4）=0，由，得，从而，由此入手能够求出y的值．
【解析】
（1）由，，…（2分）
两式相乘得-，而点M（x1，y1）在双曲线上，所以…（2分）
所以轨迹E的方程为．…．（1分）
（2）【解析】
由（1）可知A（-2，0）．设B点的坐标为（x1，y1），直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+2），
于是A，B两点的坐标满足方程组，
由方程组消去y并整理，得（1-2k2）x2-8k2x-（8k2+4）=0，…（1分）
由，得，从而，
设线段AB是中点为M，则M的坐标为（-，），…（1分）
①当k=0时，点B的坐标为（2，0）．线段AB的垂直平分线为y轴，于是
，由=4，得．…（1分）
②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为，
令x=0，解得，由，

=+（+）
==4，…（2分）
整理得7k2=2，故k=±，∴．
综上或．…（2分）