Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=AA₁=1，D、E分别为棱AB、BC的中点，M为棱AA₁上的点．
（1）证明：A₁B₁⊥C₁D；
（2）当AM=时，求二面角M-DE-A的大小．

Answer

（1））以C为坐标原点建立空间直角坐标系C-xyz，利用•=0．证明A1B1⊥C1D
（2）分别求出平面MDE，平面DEA的一个法向量，利用两个法向量夹角求二面角M-DE-A的大小．
（1）证明：以C为坐标原点建立空间直角坐标系C-xyz，则A1（1，0，1），B1（0，1，1），C1（0，0，1），D（，，0），=（-1，1，0），
=（，，-1），则•=0．所以⊥=0．所以A1B1⊥C1D；   …（6分）
（2）【解析】
，
设=（x，y，z）为平面MDE的一个法向量．则即，令y=，则x=0，z=1，所以=（0，，1）
又=（0，0，1）为平面DEA的一个法向量，所以cos＜，＞==
所以二面角M-DE-A的大小为．