Question

已知数列{a_n}是公差不为零的等差数列，数列{b_n}满足的前n项和．
（1）若{a_n}的公差等于首项a₁，证明对于任意正整数n都有；
（2）若{a_n}中满足3a₅=8a₁₂＞0，试问n多大时，S_n取得最大值？证明你的结论．

Answer

（1）用数学归纳法证明：当n=1时，原命题成立；假设当n=k时，成立，利用Sk+1=Sk+bk+1，可证当n=k+1时，命题也成立
（2）根据3a5=8a12，可得，，从而b1＞b2＞…b14＞0＞b17＞b18…，b15=a15a16a17＜0，b16=a16a17a18＞0，进而可知S14＞S13＞…＞S1，S14＞S15，S15＜S16，由此可得Sn中S16最大．
（1）证明：当n=1时，，∴原命题成立
假设当n=k时，成立
则=
∴当n=k+1时，命题也成立
故对于任意正整数n都有；（6分）
（2）【解析】
∵3a5=8a12，∴
∴，
∴b1＞b2＞…b14＞0＞b17＞b18…，b15=a15a16a17＜0，b16=a16a17a18＞0
∴S14＞S13＞…＞S1，S14＞S15，S15＜S16
又
∴a15＜|a18|，∴|b15|＜b16，b15+b16＞0
∴S16＞S14
故Sn中S16最大（12分）